几何是初中数学中非常重要的内容，通常在最后一道题中进行调查，掌握几何模型可以为考试节省大量时间…

今天，我们整理了几何模型的变换。让我们看看…

全等变换

平移:平行等线段(平行四边形)

对称：角平分线或垂直或半角

旋转:公共顶点旋转相邻等线段

对称全等模型

注:以角平分线为轴，在角两侧截长补短或作边垂线，形成对称全等。两侧等量更换边角，产生连接。垂直也可以作为轴对称。

对称半角模型

说明:上图依次为45°、30°、22.5°、15°还有一个角是30°对称(翻转)直角三角形，翻转成正方形或等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

旋转全等模型

半角：一个角包含1/2角和相邻线段

自旋：有一对相邻的等线段，需要构造全等旋转

共旋转：相邻等线段有两对，直接寻找全等旋转

中点旋转：倍长中点相关线段转换为全旋转

旋转半角模型

说明:旋转半角的特点是相邻等线段的成角含有一个二分之一的角，另外两个角通过旋转拼接在一起，成对称全等。

自旋转模型

构造方法：

60度旋转60度，造等边三角形

90度旋转90度，造等腰直角

等腰旋顶点，造成全等旋转

中心对称旋转180度

共旋转模型

说明:旋转中形成的全等三角形，第三边形成的角是经常调查的内容。可以通过8字模型来证明。

模型变换

说明：模型变形主要是两个正多边形或等腰三角形的夹角，以及等腰直角三角形和正方形的混合。

当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

中点旋转：

注：两个方形、两个等腰直角三角形或一个等腰直角三角形和两个图形顶点连接的中点，证明另外两个顶点和中点是等腰直角三角形。证明方法是将等腰直角三角形的一直角转化为等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或正方形）公共旋转顶点，通过证明等三角形证明等腰直角三角形。

最终几何模型

对称最值(两点间线最短)

对称最值(点至直线垂线段最短)

注：通过对称等量替换，转换为两点间距和点直线距离。

旋转最值(共线最值)

注：找到两个与所需最值相关的三角形定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。

剪拼模型

三角形→四边形

四边形→四边形

注：剪切主要是通过中点180度旋转和平移来改变图形的形状。

矩形→正方形

注：通过射影定理找到正方形的边长，通过平移和旋转改变形状

正方形 等腰直角三角形→正方形

面积等分

旋转类似模型

注：两个等腰直角三角形成全等旋转，两个有300角的直角三角形成相似旋转。

推广:两个任何相似的三角形旋转成一定的角度，旋转相似。第三边的夹角符合旋转8字的规律。

相似模型

注：注意边角的对应性，相等线段或相等比值在证明相似性时起着相似三角形的作用。

说明：

(1)三等角垂直演变为一线三等角，三等角以30度、45度、60度的形式出现。

（2）从内角和外角线定理到射影定理的演变，注意相同性和差异性。此外，相似性、射影定理和相交弦定理之间的比值(可以推广到圆幂定理)可以转换为乘积，需要的结论可以通过等线段、等比值和等乘积来证明。

说明：相似证明中最常用的辅助线是做平行，根据题目的条件或者结论的比值来做相应的平行线。

声明:本文来自初中数学