众所周知，第一次数学危机源于无理数。无理数的诞生使古希腊人处于思想犹豫状态，因为当时古希腊人试图将有理数视为连续连接的算术连续统（指连续数集）。最后，柏拉图宣布了基于数学的数学模型的破产，并提出了基于几何构建宇宙模型的概念。

之后，欧几里得总结了之前所有的几何知识，建立了第一个几何公理系统（欧几里得-希尔伯特几何公理系统）。它还写了一本关于几何原理的书。这无疑是数学思想的一场巨大革命，古典逻辑和欧几何是第一次危机的产物。

欧几里得的《几何原本》极大地促进了数学的发展，被翻译成世界上各种各样的文字，仅次于圣经。

几何原本

虽然在17世纪，笛卡尔创立了解析几何，但直到18世纪末《几何原本》依然是数学家心中的《圣经》，几何领域仍然是欧几里得一统天下．解析几何改变了几何研究的方法，但没有从实质上改变欧氏几何本身的内容，许多数学家都相信欧氏几何是绝对真理，例如数学家巴罗就曾列举8点理由来肯定欧氏几何。从霍布斯、洛克到康德，17、18世纪的哲学家也从不同的出发点认为欧氏几何是理解和必然的。笛卡尔在发明了几何分析后，仍然坚持对每个几何图进行全面的证明。牛顿写的物理圣经《自然哲学的数学原理》也是基于几何论证。从欧拉的无限小分析开始，数学逐渐摆脱了对几何的依赖。

笛卡尔几何公式

欧几里必须在《几何原原本》 23 条定义，5条公理，5条公开。公理是不需要证明的基本原理，适用于任何数学学科，公共设计是几何学中不需要证明的基本原理。现代数学不再区分这一点，被称为公理。

在这里，我们先列出前四个公共设施：

1.能做两点以上，只能做一条直线；

2.线段(有限直线)可无限延长；

3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆；

4.直角相等；

在这本书中，欧洲不得不意外地为自己挖了一个坑，最终导致了 2000 年后非欧几何的诞生。这个坑来自《几何原本》中的第五条公设，意思是:如果一条线段与两条直线相交，在一侧的内角和小于两个直角之间，那么这两条直线将在内角和小于两个直角之间的一侧相交。

从公元前三世纪到公元18世纪，人们一直相信欧氏几何是物理空间的正确理想化，但人们一直担心《几何原本》中的第五个公共设计，因为与前四个公共设计相比，第五个公共设计的叙述复杂而冗长。在《几何原始》中，直到第29个命题一条直线与两条平行直线相交，内错角相等，同位角相等，同侧内角之和等于两个直角才用于第五个公共设计，然后再也没有出现。

因此，数学家们对几何发展史上最著名的平行线理论的讨论产生了怀疑。

古希腊数学家普罗克鲁斯在公元5世纪试图重现它，但这些替代陈述并不比原文好。 18 世纪普莱菲尔终于总结出一个相对简单的替代公设:

过已知直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行”．

这种叙述形式常用于取代我们的中学教材中的第五公设。

此外，数学家还提出，第五公设可以作为定理而不是公设吗？第五公设可以依靠前四个公设来证明吗？

历史上证明第五次公开的主要尝试是古希腊天文学家托勒梅。后来，希腊数学家普罗克鲁斯指出，托勒梅的证明无意中假设只有一条直线与直线平行，即上述普莱菲尔公开。所以这个证明以失败告终。后来，中世纪的阿拉伯数学家奥马·海雅姆和纳西尔丁也尝试了第五次公开的证明。

一直到了 18 世纪，近 2000 年过去了，整个数学系统已经初具雏形。新的数学分支在分析几何和微积分诞生后脱颖而出。解决了无数难题。许多数学家创造了复杂而困难的数学理论。但面对看似极其简单的第五公设问题，人们仍然一筹莫展。1759年，法国数学家达朗贝尔说。第五个公共问题是几何原理中的家丑。

于是，无数数学家开始向第五公设发起了冲锋，试图将它攻陷，18世纪，意大利的萨凯里提出用归谬法试图证明第五公设，萨凯里从四边形开始，如果角A和角B是直角，且AC=BD，很容易证明角C等于角D，这样，第五公设等同于角C和角D是直角。萨凯里还提出了钝角和锐角的假设，但由于与经验相反，萨凯里最终选择放弃最终结论。

萨凯里求解过程

事实上，他对锐角的假设是成立的。后来，他成为罗巴切夫斯基几何（双曲几何）的基础之一。不幸的是，如果他更大胆，双曲几何被称为萨凯里几何。

瑞士数学家兰伯特也采用了萨凯里的验证思路。他还调查了一种四边形，其中三个角为直角，第四个角有三种可能性：锐角、直角和钝角。之后，兰伯特否认了钝角假设，并没有得出结论，即锐角假设导致了矛盾。

兰伯特

在此基础上，他大胆了大胆的猜测:如果没有直线与直线平行或不止一条直线平行，可能会有可能的几何而不产生矛盾。兰伯特和萨凯里都达到了非欧洲几何的门槛，但由于时代的原因，他们没有走过去。

在高斯手中，他开始解决这个问题。15岁时，高斯饶有兴趣地思考了这个困扰数学界近2000年的问题。他亲自进行了实地测量，讨论了我们生活空间非欧洲几何的可能性。

到1813年，高斯形成了一套关于新几何的想法，后来被称为反欧几里得几何，后来被称为非欧几里得几何。并坚信这种新几何在逻辑上是兼容的，具有广阔的应用前景。但高斯也是一个更保守和谨慎的数学家，担心对这一发现的攻击，所以他没有公开发表。

他的行为也打击到了一位青年数学家波尔约，波尔约和他父亲一样（他父亲老波尔约和高斯是同学），醉心于第五公设研究，在研究之中他得出了非欧几何的基本原理。1823年，骄傲的父亲自信地将儿子26页的论文《关于欧几里得第五公开空间的绝对真实性的理论》交给老同学高斯。但对父子俩来说，高斯的回应就像晴天霹雳。

高斯说他不能赞美自己，因为赞美他相当于赞美自己，因为这些结果与他30年前的想法相同……然而，年轻的波尔约坚信高斯抄袭了他的成就，这严重打击了约翰对数学的热情，并选择放弃数学研究。

玻尔约及其遗留手稿

玻尔约转而研究神学，因为高斯没有发表研究成果的秘密。在罗巴切夫斯基手中，第五公设终于解决了。他使用了与第五个公共设计相反的断言：通过直线，可以引用不止一条，至少两条直线平行于已知的直线，作为一个假设，将其与欧氏几何的其他公共设计相结合，然后同意该断言为公理。如果该假设与其他公共设计不相容，则获得了第五个公共设计的证明，从逻辑推导出发，获得了一系列新的几何定理，形成了逻辑上可能无矛盾的理论，这是高斯遗稿中命名的非欧几何。

当时证明的方法是证明相对没有矛盾。因为当时大家都承认欧几里的几何学没有矛盾，如果能用欧几里的几何学来解释和解释非欧几何学，那就没有矛盾了。这需要将非欧洲几何中的点、直线、平面、角、平行等翻译成欧洲几何中相应的东西。公理和定理也可以用相应的欧洲几何公理和定理来解释。这种解释也被称为非欧洲几何的欧洲模型。

而到了 1854 2000年，高斯的学生黎曼以高斯的公理取代了欧几里得的平行公理，在直线之外，没有直线和已知的直线，而不是交叉，创造了另一种非欧洲几何，被称为黎曼几何。简称黎氏几何，又称椭圆几何。在这种几何图形中，欧几里得的第五个公共设备和直线可以随意延长被否认。在这种几何图形中，每条直线都有一条可以延长的最大长度。在给定的两点之后，总是可以做一条以上的直线；三角内角大于180度，超过量与三角面积成正比。

黎曼的证明思想来自高斯，证明高斯对非欧洲几何学进行了深入的研究

虽然非欧洲几何和欧洲几里得几何的结果不同，但它们都是无矛盾的几何。非欧洲几何甚至可以表现在欧洲几里得几何的某些曲面上。非欧洲几何的产生打破了几何空间的独特性，反映了空间形式的多样性。

此后，罗氏几何和黎曼几何诞生了非欧几何的两大支柱，欧几里留下的第五个公设问题得到了充分解决。

左罗右黎

然而，当时欧几何的权威性使得非欧几何被数学家接受，遇到了许多阻力。例如，数学逻辑的创造者弗雷格拒绝承认非欧几何。为了让非欧几何被数学界接受，许多数学家开始寻找非欧几何的现实模型（建立数学模型是沟通面前实际问题与数学工具之间的必要桥梁）。

黎曼几何的数学模型很容易找到。黎曼几何的真实模型被称为球面几何，但很难找到罗氏几何的数学模型。最后，克莱因和庞加莱给出了罗氏几何的数学模型。从那以后，大多数数数学家都接受了非欧洲几何。许多数学家指出，非欧洲几何与欧洲几何平等的时代已经到来。

可以说，欧几里必须无形中挖坑 2000 多年后，最明亮的花朵开了出来。非欧洲几何学的建立促进了一些新的数学分支的产生，如数学概念、分析基础、数学基础、数学逻辑等化方法进一步完善。

除了促进欧洲哲学的发展外，非欧洲几何还为爱因斯坦广义相对论的发展提供了思想基础和有力工具，相对论给物理学带来了深刻的革命，动摇了牛顿力学在物理学中的主导地位，使人们对客观世界的理解有了定性的飞跃。