科学无国界

我们是知识的搬运工

福利时间

今天，我们将发送图灵新知提供的优质科普书籍《引力波》。

本书详细记录了参与情况LIGO在过去的55年里，科学合作团成功引领引力波探测实验的前线科学家生动地再现了他们取得这一科研成果的全过程。作者真实记录了引力波探测成功前后几周内的幕后故事，并根据时间背景生动地恢复了历史发现的详细过程，讲述了这些先驱者在漫长而孤独的挑战中的点点滴滴，这是一个非常宝贵的纪念。

只要你仔细阅读下面的文章，思考文章末尾提出的问题，严格遵守 互动：你的答案 在评论区留言，有机会获奖！

作者：David Linkletter

翻译：loulou

审校：Nothing

你计算的时候会得到什么结果？它看起来只是一个简单的算术，但社交媒体上关于它的讨论却在传播。这个问题已经传遍了社交媒体的每一个角落，数百万人给出了两个常见的答案:1和9。

你可能认为其中一半是对的，另一半需要学习算术。双方的受访者都自信地为自己的答案辩护。关于这个问题没有正式的论文或书籍，但越来越多的数学家解释了为什么：6÷2(1 2)不是明确定义的表达式。

良好的定义是数学中的一个重要术语。它本质上意味着输入总是产生相同的输出。所有的数学老师都同意

，

以及

。

额外的括号(方括号)消除了明确定义的歧义。大多数其他常见的数学问题，如

有明确的定义，有正确的答案和常见的错误答案（或多个）。但计算公式 6÷2(1 2)值是一个习惯问题。答案1和9都不对:这取决于你从数学老师那里学到了什么。

数值运算的顺序由四种混合运算规则组成PEMDAS、BODMAS、BIDMAS和BEDMAS给出：

P(或B)：首先计算括号(方括号)中的表达值；

E(或O或I)：接下来计算指数(阶/指数)；

MD(或DM)：下一步是乘法和除法，从左到右计算；

AS：最后，从左到右计算加减法

世界各地对四条混合运算法有两种略有不同的解释，而四条混合运算法悖论凸显了它们之间的差异。两者都很受欢迎，世界上没有公认的标准。因此，你可以停止在微博朋友圈的辩论。别担心，你们每个人都可能正确地记住你所学到的——只是你所学到的不同。

两种答案

站在“9”这一边的人，如在这个问题上最受欢迎的YouTube视频中回答的操作过程——他们倾向于这样计算:

或者：

这些人认为，这些人随时都认为a(b)可替换a×b。可以概括为：可以概括为：a(b)总是等同于a×b这一认知决定了四个混合运算法则悖论的答案是9。

从答案1的阵营来看，有些人是这样计算的 的：

，

另一些人指出，按照分配律：

这种计算的原则是隐藏乘法在并列算式中优先考虑。这应该在世界各地的数学课上教过，在一些编程中也很常见。所以在这里，a(b)总是等同于 (ab)这一认知决定了四个混合运算法则悖论的答案是1。

数学方面，a(b)总是等同于a×b”，并且“a(b)总是等同于 (ab)，这是矛盾的。因为通过之前的计算，1 = 9。产生这样的矛盾是合乎逻辑的，只是说明我们不可能同时有两个答案。它还表明，这两种解释都不是四种混合运算法固有的。它们都附有一些微妙的附加规则，决定了如何处理语法上的奇怪，比如6÷2(1 2)因此，如果接受其中任何一个，就会得出正式的数学结论，即6÷2(1 2)没有明确定义。这就是为什么你不能以令人满意的方式纠正对方：因为你的方法在逻辑上是不兼容的。

因此，分歧可以归结为：a(b)总是等同于a×b？”，还是“a(b)总是等同于 (ab)？两者都说不出来。

在实践中，许多数学家和科学家对这个问题的回答是语法不清楚，需要更多的括号，并解释为什么它是模糊的，这基本上是正确的答案。一张图显示两个不同的卡西欧计算器也输入6÷2(1 2)并显示了两个不同的答案。虽然语法错误可能是计算器对这个问题的最佳答案，但试图调和歧义是正常的，这没什么大不了的。但是对于我们人类来说，在注意到世界上很多人分别遵循这两种约定之后，我们不得不得出这样的结论：6÷2(1 2)目前还没有定义好。

支持两者

事实上，谷歌，Wolfram而且很多计算器的答案都是9。当然，这里计算器的答案是由他们的输入法决定的。显然，计算器并不是四个混合运算法则悖论的最佳判断工具。它们只反映了当前问题上的差异：计算器程序员很可能意识到这个确切的问题，并且已经知道它在世界上没有标准化，所以如果数学老师给出一个统一的答案，那么这些程序员就会跟进。

考虑Wolfram Alpha，它是一个提供答案引擎的网站（类似于搜索引擎，但它不提供网页链接，而是提供问题的答案，特别是数学查询）。它对6÷2(1 2)查询结果为9，6÷2x查询结果为3x，并将y=1/3x解释为穿过原点斜率为1/3的直线。从编程的角度来看，这三种方法是一致的，但对许多观察者来说，后两种方法有点奇怪。通常，如果有人写1/3x，他们的意思是，假如他们的意思是，他们会写下x/3

相反，在Wolfram Alpha中输入y=sin 3x，得到的是正弦函数y=sin (3x)，而不是斜率sin 3的直线。这个例子与前面的例子不同，它遵循了“3x等同于3乘以x为了更好地捕捉输入的明显意图，规则。Wolfram只是一种算法，无法理解人类感觉输入的意义。有点像我们的大脑。无论如何，6/x3的输入被理解为6/ x3”，因此Wolfram这显然不是纠正丑陋语法的权威。

在1方面，拥有物理学学位的数学教师珍妮戈汉姆(Jenni Gorham)最近制作了一段优秀的视频，解释了几个支持这种解释的真实例子。她指出，在许多情况下，科学家把a/bc写成的意思。事实上，你会在化学、物理和数学课本上找到很多这样的例子。戈汉姆女士和我讨论了四个混合运算法则悖论。她正式表示，这个问题的定义不明确，并指出需要就计算器编程达成协议。她认为一致的答案应该是1，因为在世界上大多数国家，并列算式中隐含乘法的优先级一直是惯例。

总结

应当指出的是，协议不需要统一。如果我的两个学生争论最小自然数是0还是1，我不会说他们中的任何一个是错误的，也不会反对世界在这个问题上缺乏共识。Wolfram知道这个惯例分为两个答案，生活还在继续。如果每个关心这个问题的人都知道四个混合运算法则悖论也有两个流行的答案（所以它本身不是一个定义明确的数学问题），那么它应该令人满意。

我希望在阅读了这篇文章后，你能满意地理解一个看起来如此基本的问题是如何留下来的。在现实生活中，你应该使用更多的括号来避免歧义。我希望世界各地的数学教师在这种实践中不会给你带来太多的麻烦，因为除了计算器程序员之外，这并不罕见或真正的问题。

原文来源：

https://plus.maths.org/content/pemdas-paradox

互动问题

【互动问题:生活或工作中有哪些有趣的事情没有说清楚？

请严格遵守 互动：在评论区留言参与互动，格式不符合要求者无效。

截至周四中午12点，喜欢前三名的朋友将获得我们发送的一本书。

编辑：loulou

最近的热门文章Top10

↓ 点击标题查看 ↓

1. 我家在地震带，你家呢？

2. 自然常数e自然在哪里？

3. 华为的5G来自这种数学方法的技术

4. 为什么要在跑道上逆时针跑步？| No.155

5. 苍蝇落在食物上会发生什么？让我们仔细说

6. 仙童传奇

7. 感谢90后学术论文自救指南

8. 你读的每一篇Nature论文都是这样发表的！

9. 硬核预警：量子力学的九种形式

10. 为什么手指可以滑动手机屏幕，但指甲不能？| No.156